复试大纲 | 华南师范大学【数学科学学院】复试大纲

华师考研

数学专业综合

1.常微分方程（占35%）：

一、微分方程的基本概念；

二、一阶常微分方程的初等解法：

分离变量方程与变量代换、线性微分方程与常数变易法、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程与参数表示；

三、一阶微分方程解的存在定理：解的存在惟一性定理与逐步逼近法、解的延拓；

四、高阶微分方程：线性微分方程的一般理论、常系数线性微分方程的解法、高阶微分方程的降阶；

五、线性微分方程组：解的存在惟一性定理、线性微分方程组的一般理论、常系数线性微分方程组。

2.复变函数（占35%）：复数, 复变函数的解析性和积分,级数理论,留数定理及其应用。

3.概率论（占30%）：

一、事件与概率：基本事件、事件运算、概率空间、概率的性质、古典概型及概率计算、几何概率；

二、条件概率与独立性：条件概率、全概率与贝叶斯公式、事件的独立性判断及应用、概率乘积公式、贝努利试验与贝努利随机序列、二项分布与泊松分布；

三、随机变量及其分布：分布及其性质、常见随机变量的类型及其分布、离散均匀分布、0-1分布、二项分布、泊松分布、负二项分布、超几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布、伽马分布、随机变量函数的分布、随机变量和差商的分布等、二维及高维随机变量的联合分布、边际分布与条件分布、分布的可加性质；

四、随机变量的数字特征与特征函数：随机变量的数学期望、条件数学期望、数学期望的性质、随机变量的方差、数字特征的意义、随机变量特征函数及其性质、随机变量的矩母函数及其性质、随机变量的矩；

五、极限定理：贝努利大数定律和中心极限定理。

线性代数与概率论综合

一、行列式：行列式的定义与性质、克拉默法则；

二、矩阵：矩阵的运算及其性质、伴随矩阵、可逆矩阵、逆矩阵及其性质、正定矩阵，矩阵的分块、矩阵的秩、矩阵的等价、矩阵的相似，方阵的特征值与特征向量；矩阵的合同关系，矩阵的对角化；

三、线性方程组：消元法、线性方程组解的判定定理、线性方程组解的结构、矩阵方程；

四、向量空间：向量的线性相关与线性无关、向量组的秩，子空间、子空间的基与维数，线性变换、基变换与坐标变换、线性变换与矩阵，向量空间的同构；不变子空间，核空间与像空间；

五、内积空间：向量的内积、长度、正交等概念及性质、标准正交基、正交变换。

六、二次型：二次型的标准型，正定二次型；

七、事件与概率：基本事件、事件运算、概率空间、概率的性质、古典概型及概率计算、几何概率；

八、条件概率与独立性：条件概率、全概率与贝叶斯公式、事件的独立性判断及应用、概率乘积公式、贝努力试验与贝努力随机序列、二项分布与泊松分布；

九、随机变量及其分布：分布及其性质、常见随机变量的类型及其分布、随机变量函数的分布、随机变量和差商的分布等、二维及高维随机变量的联合分布、边际分布与条件分布、分布的可加性质；

十、随机变量的数字特征与特征函数：随机变量的数学期望、条件数学期望、数学期望的性质、随机变量的方差、数字特征的意义、随机变量特征函数及其性质、随机变量的矩母函数及其性质、随机变量的矩；

十一、极限定理：贝努力大数定律和中心极限定理。

初等数学研究

一.初等数学的含义

初等数学问题及其解决

二.数的理论

1.数的历史

1.1 16世纪之前的数

1.2 16、17世纪的数

1.3 18世纪之后的数

2.1与自然数

2.1 自然数的基数理论

2.2 正整数的序数理论

3.科学的数系

3.1 数系扩充的原则

3.2 整数集

3.3 有理数集

3.4 实数的定义

3.5 一元数的推广——复数

3.6 数系的性质

三.函数的理论

1.式的定义

2.式的恒等变换

2.1 解析式的定义域与值域

2.2 多项式的恒等变换

2.3 一类多元多项式的因式分解

2.4 分式恒等变换

2.5 根式的转化

2.6 加法与乘法运算的统一体现——指数与对数

2.7 三角式的恒等变换

3.函数的定义

3.1 函数的定义

3.2 函数的分类

3.3 基本初等函数的公理化定义

3.4 函数基本性质的讨论

4.数值函数（一）——方程与不等式

4.1 方程与不等式

4.2 同解变形

4.3 多项式方程与不等式

4.4 一元二次方程及不等式的解

4.5 一元三次、四次方程的公式解

4.6 特殊的整式方程解法举例

4.7 函数方程举例

4.8 基本不等式及其应用举例

5.数值函数（二）——数列

5.1 基本数列

5.2 由基本数列得到的数列

5.3 可化为基本数列的数列举例

四.几何变换

1.反射变换与合同变换

1.1 几何学与变换群

1.2 反射变换

1.3 反射变换的积

1.4 合同变换

1.5 运用合同变换解题例说

2.合同变换的推广——相似变换

2.1 合同变换的推广

2.2 相似变换的性质

2.3 特殊的相似变换——位似变换

2.4 运用相似变换解题例说

3.位似变换的引申——反演变换

3.1 反演变换

3.2 运用反演变换解题例说

4.初等几何中的其他变换

4.1 等距变换

4.2 拓扑变换

五.几何解题思路

1.基本图形、基本性质和基本量

1.1 平面基本图形

1.2 空间基本图形

1.3 基本图形的问题解决

2.解决几何问题的基本方法

2.1 几何方法

2.2 代数方法

2.3 量方法

2.4 面积方法

2.5 解析方法

3.几何问题的解决

4.几何图形的存在性

4.1 几何轨迹

4.2 几何作图

六.初等的组合数学

1.两个基本原理

1.1 两个基本原理与排列组合

1.2 排列组合问题例说

2.多项式定理与组合恒等式

2.1 多项式定理

2.2 组合恒等式

3.组合数学中的三个原理

3.1 容斥原理

3.2 抽屉原理

3.3 富比尼原理

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